Kolik matematiky je v hudbě?

nakl. Argo

Eli Maor se ve své knize Hudba v číslech, čísla v hudbě věnuje vztahům mezi matematikou a hudbou. Čtenáři osvětlí řadu překvapivých detailů, když zkoumá, jak lze uplatnit matematický aparát v hudbě i naopak. Věnuje se například matematickému popisu vztahů mezi jednotlivými tóny, systémům ladění a jejich historickému vývoji. Píše o snaze matematiků a fyziků přesně popsat pohyb struny.

Prolog

Když úderem půlnoci 31. prosince 1900 skončilo devatenácté století a začalo dvacáté, panoval ve světě zmatek. Královně Viktorii, dosud nejdéle vládnoucí panovnici v dějinách Britské monarchie, zbývalo jen dvaadvacet dní života. Uplynulo sotva devět měsíců nového století a byl zavražděn prezident William McKinley; po něm nastoupil Theodore Roosevelt. Búrská válka mezi Holanďany a Brity zuřila už druhým  rokem a měla trvat ještě další rok a poskytnout Winstonu Churchillovi příležitost vstoupit do světové politiky. Na Dálném východě se Filipínci bouřili proti USA a právě začalo boxerské povstání čínských nacionalistů proti zahraničnímu imperialismu. Zlomové události nastávaly i na bezpečnějším jevišti intelektuálního světa: v roce 1900 spatřil světlo světa první vlivný spis Sigmunda Freuda s názvem Výklad snů a odehrála se premiéra První symfonie Titán Gustava Mahlera, dirigovaná samotným skladatelem. Pablo Picasso zahájil své „modré období“ (1901–1904) a Max Planck zavedl nový fyzikální pojem, který měl zanedlouho způsobit převratné změny ve všech vědních oborech: kvantum energie. A jako by to nestačilo,

David Hilbert, přední německý matematik přelomu století, předstoupil před Druhý mezinárodní kongres matematiků konaný v roce 1900 v Paříži se seznamem třiadvaceti otevřených problémů, jejichž vyřešení považoval za  nezbytné, pokud se měla  matematika v  budoucnu  nadále rozvíjet – jak se ukázalo, identifikoval tyto problémy naprosto správně. Pět let poté, co Planck zavedl kvantum, zveřejnil Albert Einstein svou speciální teorii relativity; tyto objevy společně znamenaly konec klasické fyziky, která ovládala vědu od dob Galileiho objevů před třemi stoletími.

Ale přechod ze starého světa do nového neproběhl nijak hladce; naopak, vystavil fyziku hluboké krizi, jaká ji nepotkala od 16. a 17. století, kdy Mikuláš Koperník,  Johannes Kepler a Galileo Galilei vyvrátili starořeckou představu o vesmíru. Je to pozoruhodný souběh událostí – krizi ve fyzice v závěrečných letech 19. století odpovídala stejně hluboká krize v jiné intelektuální disciplíně: ve vážné hudbě. Obě krize se kupodivu točily kolem společného tématu – hledání náležitého rámce, vztažné soustavy, do které by měl být zasazen fyzický vesmír i vesmír hudební. Tento paralelní vývoj tvoří pozadí řady dalších kapitol této knihy, a proto zde poněkud podrobněji popíšu události, které k němu vedly.

V roce 1687 vydal Isaac Newton monumentální dílo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica a položil v něm základy dynamiky, na kterých vědci stavěli dalších 218 let. Jeho mechanistická představa o vesmíru,  ve kterém se všechno neustále pohybuje vlivem gravitační síly, vešla ve známost jako „vesmír jako hodinový stroj“. Každý fyzikální jev – počínaje chováním atomů a konče pohyby nebeských těles – se řídil soustavou určitých, deterministických zákonů; konkrétně to byly tři Newtonovy pohybové zákony a jeho všeobecný gravitační zákon. Tyto zákony byly později popsány soustavou diferenciálních rovnic,  které mohly být  (přinejmenším v principu) vyřešeny za předpokladu, že je 2021 znám počáteční stav systému – tj. poloha a rychlost všech jeho  složek  –  v  určitém  okamžiku,  příhodně  označeném  jako t  =  0.  Dovedena do krajnosti se tato mechanistická představa mohla vztahovat na celý vesmír: kdybychom znali polohu a rychlost každého jednotlivého atomu v okamžiku stvoření světa, bylo by tím navždy předurčeno budoucí směřování vesmíru. Tento náhled, jehož autorem je francouzský matematik  markýz  Pierre Simon de Laplace, dominoval vědeckému myšlení bezmála po dvě století po Newtonově smrti roku 1727.

V Newtonově uspořádání světa je skryt předpoklad, který byl odjakživa považován za samozřejmý, a tudíž se o něm moc nepřemýšlelo:  totiž že existuje univerzální vztažná soustava, jakýsi neviditelný systém souřadnic, ke kterému se dá vztáhnout poloha a pohyb každé částice ve vesmíru. Z praktických důvodů se za tento univerzální systém  souřadnic považovaly nehybné hvězdy, stálice, jejichž poloha na nebeské báni se zdála po generace nezměněná (byť Edmond Halley roku 1718 prokázal, že tyto hvězdy se také pohybují a rozhodně tedy nejsou nehybné). Mělo se za to, že stálice jsou součástí Mléčné dráhy, tedy naší galaxie, a té tak byla udělena role vztažné soustavy v absolutním klidu, pevného bodu, k němuž se mohlo vztáhnout všechno ostatní.

Že jde o sporný předpoklad, neuniklo zkoumavému zraku některých badatelů – zejména ne samotnému Newtonovi, kterému nedával spát. Už o půlstoletí dříve si uvědomil Galileo, že pohyb je svou samotnou povahou relativní. Ilustroval to  příkladem dvou lodí, které plachtí v klidných vodách daleko od pevniny. Cestující by nedokázali rozhodnout,  která z lodí se pohybuje a která stojí, zda ta jejich, nebo ta druhá. Tento poznatek vešel ve známost jako galileovský princip relativity a Newton, který Galileovo dílo velmi dobře znal, si ho byl plně vědom. Ale otázku, kdo se „doopravdy“ pohybuje a kdo je v klidu, bezmála všichni vědci ignorovali ještě v závěrečných letech devatenáctého století. A pokud bylo třeba důkazu, že tento systém zcela uspokojivě funguje, poskytly ho v hojné míře okázalé triumfy newtonovské  matematiky, počínaje přesnou předpovědí návratu Halleyovy komety v roce 1758 a konče objevením Neptunu, nové planety, osmé od Slunce, ke kterému došlo roku 1846 čistě jen díky matematice.

Zdálo se, že vesmírný hodinový stroj pracuje s neselhávající matematickou přesností.Jenomže v 17. století byla objevena nová vlastnost fyzického světa: elektřina. Zprvu jen ve formě statické elektřiny – jako když se za chladného suchého dne dotknete kovového předmětu a dostanete lehkou ránu –, která vyvolala jen zvědavost; zanedlouho se však elektřina stala jevem, se kterým bylo třeba se nějak vyrovnat. Tak například elektrický náboj mohl putovat kovovým drátem a přenášet se tak z místa na místo  –  jakožto elektrický proud.  Ještě větší překvapení bylo, že elektrický proud dokáže vychýlit magnetickou střelku kompasu; jinak řečeno že proud vytváří kolem drátu magnetické pole.

Ve 30. letech 19. století provedl Michael Faraday, anglický vědec-samouk,  řadu experimentů, které spolehlivě  stanovily  povahu elektřiny a její vztah k magnetismu. Faraday (1791–1867) byl na slovo vzatý experimentátor: jeho světem byla laboratoř, kde si hrál se svými přístroji, sledoval výsledky pokusů a vyvozoval z nich závěry. Ale sjednotit Faradayovy objevy do uceleného teoretického systému, na to bylo třeba  jiného  britského  vědce.  Tento úkol připadl skotskému fyzikovi Jamesi Clerku Maxwellovi. Maxwell  (1831–1879)  formuloval  Faradayovy  zákony, odvozené z experimentů,  v podobě soustavy čtyř diferenciálních rovnic, které panují všem elektrickým i magnetickým jevům; a od té doby se pro ně užívá názvu elektromagnetismus.  Jádrem  Maxwellovy teorie byl pojem  pole,  jakéhosi neviditelného média,  které přenáší elektromagnetismus prostorem v podobě elektromagnetických vln. Překvapivě se ukázalo,  že rychlost šíření těchto vln je přesně stejná jako rychlost světla ve vakuu, tj. 299 792 km/s. Toto číslo začalo být označováno písmenem c, pravděpodobně podle latinského výrazu pro rychlost – celeritas. Mělo se později stát jedním z nejdůležitějších čísel ve fyzice.Maxwellovy rovnice, s elegantní vnitřní symetrií, se staly paradigmatem, kterého se snažili fyzikové držet dalších sto let, ale také  jasně ukázaly,  že Newtonova mechanistická představa o světě už nestačí  k vysvětlení všech nově objevených jevů.

Zdálo se, že se fyzika skládá ze dvou samostatných odvětví a každé z nich má své vlastní zákony. Na jedné straně tu byl onen mechanistický svět, do které ho patřilo i teplo a zvuk (teplo proto, že vzniká díky pohybu molekul; zvuk proto, že je výsledkem mechanických vibrací, které se přenášejí vzduchem v podobě tlakových vln). A na druhé straně to byl elektromagnetismus, ke kterému patřila také optika  (protože  Maxwellovy  rovnice  ukázaly,  že  světlo  je  také elektromagnetická vlna s pásmem určitých frekvencí, které  naše  oči  vnímají  jako  různé  barvy).  Neslučitelnost  těchto odvětví – která předznamenávala rozkol mezi relativitou a kvantovou mechanikou ve dvacátém století – musela překlenout nějaká úhrnná sjednocující teorie. Skutečnost, že elektromagnetické vlny se mohou šířit prázdným prostorem, se fyzikům devatenáctého století moc nezamlouvala. Pořád pevně vězeli v newtonovském mechanistickém světě, a snažili se proto uplatnit zdánlivou analogii ke vukovým vlnám, které se šíří vzduchem. Máme tu hmotné médium, které prostorem přenáší vibrace řekněme houslové struny ve formě tlakových vln; podobně jako se zčeření vody v rybníku šíří v podobě vlny na hladině. Zjevně tedy musí existovat podobné materiální médium, prostupující prostor, jímž se šíří vlny elektromagnetické. Tak se zrodila představa éteru (neboli luminiferního  – světlonosného – média) a stala se pevnou součástí fyziky na sklonku devatenáctého století.

Éter nebyl jen médiem pro šíření elektromagnetických vln, sloužil také jako šikovná kosmická vztažná soustava, vůči které bylo možné měřit každý pohyb. To ale okamžitě vedlo k problému:  pokud veškerý pohyb měříme jako relativní vůči éteru, pak by rychlost světla, tak jak ji vnímá pozorovatel, musela záviset na rychlosti pohybu pozorovatele vůči éteru. Konkrétně, pokud se zdroj světla blíží k pozorovateli rychlostí v, vyzařované světlo by mělo k pozorovateli dospět rychlostí c + v; a pokud se zdroj světla vzdaluje, pozorovaná rychlost světla by měla být c – v. Analogický jev by měl nastat v případě, že zdroj bude nehybný a pozorovatel se bude pohybovat k němu anebo od něj. Jinými slovy, rychlost světla vnímaná  pozorovatelem závisí na rychlosti pohybu  samotného pozorovatele, a má tudíž proměnlivou velikost. A to byla podstata krize: Maxwellovy rovnice nevyžadují existenci žádného materiálního média, v němž by se elektromagnetické vlny šířily; médiem je samotné elektromagnetické pole. Rychlost světla tudíž musí být univerzální konstantou, nezávislou na pohybu pozorovatele vůči světelnému zdroji.Tuto  otázku  měl  jednou  provždy  vyřešit  slavný  experiment, který provedli roku 1887 v Case Western Reserve University  u Clevelandu v Ohiu dva američtí fyzikové Albert Abraham Michelson (1852–1931) a Edward Williams Morley (1838–1923).

Jejich cílem bylo změřit rychlost světla vzhledem  k Zemi, která měla posloužit  jako pohyblivá  základna, jež na oběžné dráze kolem Slunce putuje vesmírem rychlostí asi 30 km/s. Pakliže by éter existoval, pozorovatel na Zemi by měl rychlost světla naměřit jako c + 30 km/s v době, kdy se pohybuje směrem ke zdroji světla, a c – 30 km/s o půl roku později, kdy se Země pohybuje směrem od Slunce. Jde o nesmírně malý rozdíl (rychlost země je asi jedna desetitisícina rychlosti světla), ale optické přístroje jej dokážou zachytit.  Pokoušeli se o to několikrát, ale nezaznamenali naprosto žádný rozdíl. Rychlost světla byla stále tatáž bez ohledu na směr pohybu Země vzhledem k éteru.

Negativní výsledky Michelsonova a Morleyho experimentu se pokoušeli vysvětlit mnozí; využívali k tomu všemož-ných předpokladů, navržených jen k tomuto účelu, a tudíž postrádajících věrohodnost. Úloha náležitě tento problém vysvětlit připadla Albertu Einsteinovi (1879–1955),  tehdy šestadvacetiletému nižšímu úředníkovi švýcarského patentového úřadu v Bernu. Jeho závěr byl: éter neexistuje, je to čirý výmysl. Z toho plyne, že neexistuje jediný, univerzální systém souřadnic v absolutním klidu, ke kterému by se mohl vztahovat veškerý pohyb. Zavržení éteru však něco stálo:  pokud měla být rychlost světla stejná ve všech soustavách souřadnic, pak musel být relativní nejen prostor, ale i čas. Absolutní prostor a absolutní čas se staly minulostí. A co víc, prostor a čas už nebyly oddělenými entitami, nahradila je jediná, čtyřrozměrná realita: prostoročas.

Einstein svou speciální teorii relativity zveřejnil v roce 1905. Nazval ji „speciální“, protože se týkala jen speciálních případů,  kdy se vztažné soustavy pohybovaly vůči sobě konstantní rychlostí.  Po deset let  se pak usilovně snažil rozšířit svou teorii na všechny vztažné soustavy,  zejména na ty zrychlující.  Obecnou teorii relativity,  své vrcholné dílo, pak publikoval v roce 1916. Okamžitě byla oslavována jako nejelegantnější teorie v dosavadních dějinách fyziky. Newtonův koncept gravitace jakožto síly působící na dálku nahradila obecná relativita geometrickou interpretací, podle které prostoročas v přítomnosti hmotného tělesa přestává být plochý – zakřivuje se.Tato teorie krom jiného předpověděla, že paprsek světla se v přítomnosti velmi těžkého tělesa, jako je například Slunce, odchýlí od přímé dráhy. Potvrdilo se to při zatmění Slunce  29.  května  1919,  kdy byly vyfotografovány hvězdy v okolí ztemnělého slunečního kotouče a snímek byl porovnán s fotografi í stejné oblasti vesmíru pořízenou o několik měsíců  později.  Polohy jednotlivých hvězd byly pečlivě  změřeny a ukázalo se, že se vychýlily přesně tak, jak Einstein předpověděl.  Výsledek byl oznámen na zvláštní společné schůzi Královské vědecké společnosti a Královské astronomické společnosti v listopadu téhož roku, a Einstein získal přes noc celosvětovou proslulost. Obecná teorie relativity dodneška prošla každým experimentálním testem, kterému byla vystavena.

Ve stejné době, kdy se fyzika potýkala s éterem, procházela klasická hudba svou vlastní krizí.  O století dříve Joseph Haydn (1732–1809) a Wolfgang Amadeus Mozart (1756–1791) vytvořili ze symfonie vrcholnou formu klasické hudby a připravili tak scénu dalším. Ale přestože jejich hudba byla neobyčejně nádherná, psali ji zejména pro vídeňskou aristokratickou elitu, která se si chtěla užít pěkný večer v palácích bohatých a mocných.  Až  Ludwig  van  Beethoven  (1770–1827)  proměnil symfonii v působivý emocionální zážitek, schopný povznést lidskou duši podobně, jako to dokázala literatura, a věnoval symfonii celému světu. Haydn napsal 104 symfonie (vlastně 105, ale jedna se ztratila), Mozart 41 a Beethoven jen devět, ale jaká mohutná díla to jsou!

Jeho poslední, devátá symfonie, „S Ódou na radost“, byla poprvé provedena v roce 1824. Je určena pro velký orchestr, čtyři vokální sólisty a sbor, a stala se zpodobením univerzálního bratrství – natolik, že se hrála v roce 1989 u paty zborcené berlínské zdi a předznamenala znovu sjednocení Německa. Beethoven zemřel roku 1827,  přesně sto let po smrti Newtona. A přesně jako v případě Newtona i Beethovenův duch se vznášel dalších sto let nad veškerou západní hudbou. Žádný významný evropský skladatel, ať už si toho byl vědom  či  ne, se neodvážil napsat více než devět symfonií (Schubert jich zkomponoval osm, Schumann a Brahms po čtyřech, Berlioz jedinou). Gustava Mahlera si „prokletí deváté“ podmanilo natolik, že uvěřil (jak vypráví jeho žena Alma), že zemře, když se pokusí napsat desátou symfonii – a tato předtucha se také vyplnila: Mahler zemřel v roce 1911 a tato skladba zůstala nedokončená. I když symfonická produkce jednotlivých skladatelů slábla, počet členů orchestru nezbytný k provedení těchto děl trvale narůstal. Mahlerova osmá nazvaná Symfonie tisíců byla komponována pro osm vokálních  sólistů, dvojitý sbor a obrovský orchestr;  vedle této palebné síly se i Beethovenova Devátá ztrácela.

V éře po Beethovenovi však nenarůstala jen velikost orchestru a emocionální působivost symfonického žánru; ještě většího rozšíření doznal harmonický rozsah hudby.  Před Beethovenem měl skladatel dosti omezený výběr přípustných akordů. V zásadě byl omezen na konsonantní čili libozvučné akordy, jako je třeba durový trojzvuk C-E-G. Byl to důsledek toho,  že hlavní úlohou předbeethovenovské hudby bylo potěšit posluchače.  Ať už  to bylo na veřejně přístupném koncertě, na královské recepci či ve vážném prostředí chrámu,  hudba měla bavit, anebo,  v posledním případě,  vzbouzet v publiku posvátný úžas z Božího díla. 

„Ani v nejstrašnějších situacích nesmí hudba urážet ucho,“ napsal v roce 1872 Mozart. I ve skladbách v mollové tónině, pro kterou je příznačný zádumčivý mollový trojzvuk, jako je C-Es-G, se využívaly výhradně libozvučné akordy. Tu a tam se mohla vložit drobná disonance, aby vznikl chvilkový pocit napětí či parodie, ale bylo to jen kratičké vybočení, které mělo být vzápětí „napraveno“ přechodem k harmonickému souzvuku.Tohle všechno Beethoven změnil. Ve své třetí symfonii, nazvané Eroica a provedené poprvé v roce 1805, opakovaně využíval drásavé disonance a synkopace (akcenty na lehké doby)  s  výslovným záměrem posluchače  šokovat;  a to se mu skutečně podařilo: symfonie byla tvrdě kritizována za porušování všech obecně přijímaných norem „dobré“ hudby. Beethoven se jako vždy kritikou veřejnosti nenechal znepokojovat ani odradit; a další komponisté ho brzy následovali: Hector Berlioz (1803–1869) běžně využíval dříve „zakázané“ akordy, aby své hudbě dodal na dramatičnosti, a Wagner a Mahler překračovali tradiční hranice ještě mnohem dál. 

V polovině století už byla symfonie mocným emocionálním zážitkem, schopným pozvednout posluchače do nejvyšších sfér nadšení, vášně, dokonce i bázně. O Berliozovi, nejromantičtějším  ze skladatelů romantismu, se vypráví,  že ho provedení jedné Beethovenovy symfonie tak strhlo,  že se viditelně chvěl. Soused na vedlejším sedadle se k Berliozovi otočil  a řekl mu:  „Monsieur,  co kdybyste si venku trochu odpočinul,  abyste si pak mohl hudbu více užít?“  Na  což  Berlioz znechuceně opáčil: „To si opravdu myslíte, že jsem tu proto, abych si užíval?!“ Představa, že hudba – zejména symfonická – nesmí „urážet ucho“, byla minulostí.

Jakmile byla opuštěna tradiční harmonie, přišlo i odvržení tonality.  Po tři staletí,  zhruba od roku 1600 do roku 1900,  byla základem západní hudby představa, že hudební skladba musí být zakotvena v nějaké základní tónině, kolem které se rozvíjí a ke které se nakonec vrací. Tento princip tonality, hudby založené na tónině, dává skladbě směr či záměr. Tonalita byla pro klasickou hudbu tím, čím byl pro klasickou fyziku éter – pevným vztažným systémem, ke kterému se vztahovala každá nota toho kterého díla. Jenomže jak se blížil konec 19. století, byl tento osvědčený princip ohrožen. Už v Berliozově hudbě, a mnohem výrazněji v té Mahlerově, se dojem tonality postupně vytrácel, a bylo čím dál obtížnější uvědomit  si, kde se v průběhu skladby nacházíme: hudba se stala atonální. Za této situace poznal Arnold Schönberg – tehdy spíš neznámý vídeňský skladatel, který  se  dosud  podepisoval  s  německým  umlautem  –,  že tonalita se vyčerpala. Rozhodl se vypracovat nový systém komponování, který, jak doufal, s tonalitou skoncuje. Zanedlouho uvidíme, nakolik se mu podařilo tento úkol splnit.

31.1.2020